一、理论讲解
定理1:若 a、b是实数,则a2+b2≥2ab ,等号当且仅当 a=b 的时候取得。
推论1:若 a、b均是非负实数,则:a+b≥2
二、方法应用
1、和一定,当且仅当两数相等时积有最大值。
2、积一定,当且仅当两数相等时和有最小值。
三、例题展示
例1.直角三角形两条直角边的和等于10厘米,则三角形的面积最大是多少平方厘米?
A.10 B.12.5 C.20 D.25
【答案】B。解析:由题可知,设三角形两条直角边的长度分别为a、b,根据已知条件可得a+b=10,求三角形面积的最大值,三角形面积=
例2.某市有一个长方形广场,面积为1600平方米。那么,这个广场的周长至少有:
A.160 B.200 C.240 D.320
【答案】A。解析:由题可知,设长方形广场的长和宽分别是a、b。根据已知条件可得:ab=1600,求周长的最小值,长方形的周长=2(a+b),根据均值不等式的结论:积一定,和有最小值,当且仅当a=b时取得。由题知a和b的积是定值1600,当a=b=40时,a+b最小值为80,则长方形的面积最小值为160。选A选项。
例3.建造一个容积为16立方米,深为4米的长方形无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每平方米100元,那么该水池的最低造价是多少元?
A.3980 B.3560 C.3270 D.3840
【答案】D。解析:由题可知,水池的底面积为16÷4=4平方米,设水池的长和宽分别为a和b,则水池池底和池壁的总造价y=4×160+4×a×2×100+4×b×2×100=640+800×(a+b),要使水池造价最低,则a+b的值要尽可能小,根据均值不等式的结论:积一定,和有最小值,当且仅当a=b时取得。由题知a和b的积是定值4,当a=b=2时,a+b最小值为4,则水池最低造价为3840元。选D选项。
通过上述三道题目,相信同学们已经掌握了均值不等式的应用方法,所以在考试当中遇到此类题目时,还是建议广大考生能够熟练应用这种方法。
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